Een gesloten keten heeft schakels met uitsluitend twee of meer scharnierpunten. Een schakel met twee scharnierpunten heet ook wel binaire schakel, of kortweg staaf of stang. Een schakel met drie, resp. vier punten heet ternaire resp. quaternaire schakel. Een open keten heeft minstens één schakel met maar één scharnierpunt. 

Zo kan men drie binaire schakels met elkaar verbinden tot een driehoek, die op zich weer star is en dus geen (nul) vrijheidsgraden heeft, zie figuur 1.1a. Verbindt men vier staven tot een gesloten keten, dan is er weer één vrijheidsgraad (figuur 1.1b). Als een (deel-)keten zelf geen vrijheidsgraden heeft, kan deze vervangen worden door één nieuwe schakel. De keten heeft dan wel met meerdere scharnierpunten (de driehoek wordt dan een ternaire schakel i.p.v. drie binaire schakels).

1.2 Formule van Grübler 

Het aantal vrijheidsgraden wordt bepaald ten opzichte van een willekeurige schakel. In het platte vlak heeft een losse schakel drie vrijheidsgraden t.o.v. de vaste wereld (= een andere schakel, vaak het gestel genoemd). Maakt men een scharnierverbinding tussen beide schakels, dan wordt een punt verhinderd om vrij te bewegen: er blijft nog slechts één hoek tussen de schakels beweegbaar. In het algemeen geldt: Een enkelvoudig scharnierpunt neemt twee vrijheidsgraden van een losse schakel weg.

Grübler presenteerde zijn formule voor het berekenen van het aantal vrijheidsgraden F van de keten van een vlak mechanisme: F = 3 (n - 1) - 2 g₁ (1.1) waarin F = het aantal vrijheidsgraden n = het aantal schakels g₁ = het aantal enkelvoudige scharnieren Het aantal scharnieren kan men, behalve door gewoon te tellen, ook direct uit de specificatie van de keten afleiden: als men alle scharnierpunten van de losse elementen bij elkaar telt, levert dit 2 keer het totaal aantal scharnieren op. (1.2) 

Hierin is i = het aantal scharnierpunten op een schakel, n_i = het aantal schakels met i scharnierpunten en i_max = het grootste aantal scharnieren, dat op één schakel in de keten voorkomt. Voor een gesloten keten kan nog vastgesteld worden: (1.3) waarbij i_max, als geheel getal, naar beneden moet worden afgerond als n oneven is. Voorbeeld: neem een keten met 4 schakels (n = 4), dan wordt i_max = 2. Een gesloten keten met vier schakels is dus alleen te maken met binaire schakels.

  1.3 Gesloten ketens met één vrijheidsgraad 

Welke ketens hebben één vrijheidsgraad? Om hier beter inzicht in te krijgen wordt de formule van Grübler (1.1) geschreven als: g₁ = ½ { 3 (n-1) – F} = ½ (3n – 4) Omdat het aantal scharnieren g₁ geheel moet zijn, moet n even zijn. Bij n = 2 schakels wordt g₁ = 1 en is slechts een open keten mogelijk. Gesloten ketens zijn mogelijk bij minimaal vier schakels. Met behulp van de structuurformules (1.2) en (1.3) kan dit preciezer worden aangegeven. 

Vierstangenketen: (n = 4) g₁ = 4 (aantal scharnieren) i_max = 2 (er kunnen alleen binaire schakels zijn) Er is dus één specificatie. Bovendien is er maar één structuur, want de vier binaire schakels zijn maar op een manier met elkaar te verbinden, zie figuur 1.1b. 

Zesstangenketen: (n = 6) g₁ = 7 (aantal scharnieren) i_max = 3 (er zijn dus binaire en ternaire schakels mogelijk Tevens geldt nog: n = n₂ + n₃ = 6 2g₁ = 2n₂ + 3n₃ = 14 waardoor n₂ en n₃ precies bepaald zijn: 2 ternaire en 4 binaire schakels. Er is dus één specificatie van de zesstangenketen, maar de schakels kunnen nog gecombineerd worden tot twee verschillende structuren, zie figuur 1.3. Zij zijn genoemd naar Watt en Stephenson. 

Achtstangenketen: (n = 8) g₁ = 10 (aantal scharnieren) i_max = 4 (er zijn dus binaire, ternaire en quaternaire schakels mogelijk) Tevens geldt nog: n = n₂ + n₃ + n₄ = 8 2g₁ = 2n₂ + 3n₃ + 4n₄ = 14 waardoor de specificatie van de soort schakels niet eenduidig bepaald is (2 vergelijkingen, 3 onbekenden). Volgens Hain zijn er 3 specificaties mogelijk, gerangschikt naar het aantal quaternaire schakels: 1) n₄ = 0, n₃ = 4, n₂ = 4 2) n₄ = 1, n₃ = 2, n₂ = 5 3) n₄ = 2, n₃ = 0, n₂ = 6 waarvan in totaal 16 verschillende structuren gemaakt kunnen worden, zie figuur 1.3.

1.4 Topologieën en mechanismen gebaseerd op de vierstangenketen 

Het gaat dus om de eenvoudige typen mechanismen met één graad van vrijheid. Nu wordt een nieuw bestanddeel in de structuurbeschouwing geïntroduceerd: het verbindingstype tussen twee schakels. Tot nu toe was een verbinding altijd een scharnier. Hierna worden ook schuifverbindingen beschouwd (enkelvoudig, dus tussen twee schakels). Vanuit de basisketen geredeneerd kan men nu zoveel mogelijk nieuwe, van elkaar verschillende ketenstructuren bedenken door een of meer scharnieren te vervangen door schuiven, zie figuur 1.4 tweede kolom. Één of twee schuiven levert nog goede mechanismen op, maar drie schuiven geeft een triviaal mechanisme (het overblijvende scharnier kan evengoed vastgezet worden). Doordat er nu ongelijksoortige schakels zijn (met nul, één of twee schuiven) zijn er ook meerdere verschillende keuzen voor het gestel mogelijk, zie de overige kolommen van figuur 1.4.

Bij het vierstangenmechanisme geldt het volgende: 

Stelling van GRASHOF: 

De kortste schakel kan een volledige omwenteling maken ten opzichte van de overige schakels als de som van de kortste en de langste schakel kleiner of gelijk is aan de som van de beide overige schakels. 

In formulevorm: l_max + l_min £ l₃ + l₄ (1.4) 

Een rondlopende schakel (kruk) is van belang bij periodieke bewegingen, zoals bij machineconcepten met een centrale aandrijfas. Als aan de Grashof voorwaarde voldaan wordt zijn er zijn nog drie mogelijkheden: - de kortste schakel is in het gestel gelagerd (krukslinger mechanisme), - de kortste schakel is de koppelstang (dubbelslinger mechanisme), - de kortste schakel is het gestel zelf (dan kunnen alle overige schakels rondgaan, dubbelkruk mechanisme). De naamgeving wordt dus ontleend aan de beide in het gestel gelagerde schakels. Het type beweging kan men ook onderscheiden bij de topologieën met een of twee schuiven, zie figuur 1.5.

Het vervangen van een scharnierverbinding door een schuifverbinding kan men meetkundig ook formuleren met: het scharnierpunt wordt in het oneindige gekozen. Hierdoor worden de twee betrokken staven oneindig lang. Het verschil tussen deze staaflengten is echter wel eindig, zie bijvoorbeeld de maat e (excentriciteit, kan zowel positief als negatief zijn). De Grashof-voorwaarde van het krukschuif- en kruksleuf-mechanisme (nrs. 6 en 5 in figuur 1.5) kan men schrijven als: a + |e| £ c (1.5) 

Enkele algemeenheden bij het gebruik van Vierstangenmechanismen met rondlopende kruk: 

- zij genereren een overdrachtsfunctie met één minimum en één maximum (geen tussenrust, geen pelgrimstap); 

- de koppelkromme (baan van een punt van het koppelvlak) kent een grote verscheidenheid aan vormen. Er kunnen spitsen, dubbelpunten (kruisingen) en benaderd rechte gedeelten in voorkomen; 

- de (kinematische) bewegingskwaliteit wordt uitgedrukt met de drukhoek. Dit is de hoek tussen de krachtrichting (langs de koppelstang AB) en de bewegingsrichting van punt B (loodrecht op de slinger of in de schuifrichting). In de praktijk neemt men bij voorkeur de drukhoek £ 45°  

1.5 Topologieën en mechanismen gebaseerd op de zesstangenketen 

De beide ketens van Watt en Stephenson kennen één graad van vrijheid. Door verschillende gestelkeuzen (binaire of ternaire schakel) zijn bij de Watt-keten twee en bij de Stephenson-keten drie verschillende mechanismen te onderscheiden, zie figuur 1.6 links. Zij heten officieel in de literatuur Watt-1, Watt-2 etc. mechanisme. Vanwege de praktische bruikbaarheid is het Watt-2 mechanisme interessant: dit kan worden opgevat als een serieschakeling van twee Vierstangenmechanismen.

Welke ketens kunnen twee vrijheidsgraden hebben? Om hier beter inzicht in te krijgen wordt de formule van Grübler (1.1) geschreven als: g₁ = ½ { 3(n - 1) - F} = ½ (3n - 5) Omdat g₁ een geheel getal moet zijn, moet het aantal schakels n oneven zijn. Voor n = 3 kan alleen een open keten bedacht worden met g₁ = 2 scharnieren. Er is één specificatie en één structuur. De middelste schakel als gestel lijkt een triviale keuze. Bij keuze van een der eindschakels als gestel zijn de topologieën van figuur 1.8 mogelijk.

1.7 Ketens met drie vrijheidsgraden - vlakke manipulator 

Welke ketens kunnen drie vrijheidsgraden hebben? Met Grübler (1.1), waarin F = 3 wordt ingevuld, ontstaat: 

G₁ = ½ { 3(n -1) - F} = ½ (3n - 6) 

Omdat g₁ een geheel getal moet zijn, moet het aantal schakels n even zijn. Voor n = 4 schakels kan een open keten bedacht worden met g₁ = 3 scharnieren. Er is één specificatie en één structuur. Ook hier zijn vele topologieën met schuifverbindingen in plaats van scharnierverbindingen bekend. Toepassingen zijn vooral te vinden als robotmechanismen, dat een ruimtelijk mechanisme wordt als het gestel van de vlakke keten zelf draaibaar ten opzichte van de vaste wereld wordt opgesteld, zie figuur 1.10.

De structuurformules, zoals die van Grübler, gelden voor willekeurige afmetingen van de schakels. Door bijzondere keuze van afmetingen kunnen situaties ontstaan, waardoor de uitkomsten van de formules niet zonder meer toegepast mogen worden. 

Enkele voorbeelden: 

- wankele constructie. Drie staven vormen normaal een starre constructie met F = 0. Onder voorwaarde, dat één staaf precies gelijk is aan de som van de beide andere, is de constructie wankel, zie figuur 1.12. Ook bij constructies met meer staven en F = 0 kan een wankele situatie optreden. Kenmerkend is, dat een punt een kleine beweging kan maken zonder dat de inwendige staafkrachten veranderen. Schijnbaar is in zo'n stand F=1. 

- doorslaand mechanisme. Het enkele parallellogram (F=1) is een voorbeeld van een stangenvierzijde, waarbij alle staven precies in een lijn kunnen liggen, zie figuur 1.12. In die platgevouwen toestand is het mechanisme ook wankel, schijnbaar is F=2. Het mechanisme kan vanuit deze stand vertakken naar een zogenaamde antiparallelle stand. 

- dubbelparallellogram. Om het vertakkingsprobleem bij een parallellogram te voorkomen plaatst men soms een tweede parallellogram, waarvan de beide krukken een hoek (meestal 90° ) met de eerste krukken maken, zie figuur 1.12. Er zijn dan n = 5 schakels en g₁ = 6 scharnieren, dus volgens Grübler is F = 0. Toch kan het mechanisme bewegen: door de bijzondere configuratie met de twee parallellogrammen wordt F één hoger. Het mechanisme is echter in elke stand statisch onbepaald. Als de afmetingen niet precies zijn gefabriceerd, ontstaan er inwendige spanningen in de staven.

Veronderstel dat er twee (ketting)wielen zijn die ieder draaibaar in een derde schakel, het gestel, zijn gelagerd. Zonder ketting heeft elk wiel een vrijheidsgraad. Met ketting is er in de totale keten nog maar één vrijheidsgraad. De kettingoverbrenging neemt dus één vrijheidsgraad weg. Hetzelfde effect, één vrijheidsgraad wegnemen, komt ook tot stand door een extra staaf (binaire schakel) tussen twee schakels (in het voorbeeld de kettingwielen) te plaatsen met scharnierverbindingen. Volgens Grübler wordt n met één verhoogd, maar g₁ wordt twee hoger. In totaal wordt F dus een minder. Voor de tellingen in de structuurformules maakt het dus niet uit om, in plaats van een ketting- (of tandwiel-) overbrenging, een staaf als schakel te nemen. Men kan zelfs de extra staaf en scharnierpunten zodanig kiezen dat momentaan een equivalent (gelijkwaardig) mechanisme voor de tandwiel- of kettingoverbrenging ontstaat, zie figuur 2.1. In deze figuur ligt staaf AB langs de ingrijplijn der tandflanken, staven A₀A en B₀B staan loodrecht hierop.

2.2 Cycloïdale mechanismen 

Door in een vierstangenketen één der binaire staven te vervangen door een tandwielpaar, ontstaat de bekende tandwieloverbrenging. Er is één specificatie en één structuur. Wordt een der beide tandwielen als gestel gekozen, dan ontstaat de groep met de zogenaamde cycloïdale mechanismen. Karakteristiek zijn de banen, die elk punt van het omlopende wiel beschrijft: een cycloïde. 

Onderscheid in de naamgeving wordt gemaakt: 

- epi-cycloïde (afrollen op de buitenomtrek van het vaste wiel), en 

- hypocycloïde (afrollen op de binnenomtrek van het vaste wiel). Als de diameterverhouding een geheel getal is, is de cycloïde een gesloten baan. Kenmerkend is het voorkomen van een zich herhalend patroon van golven, lussen of spitsen. Om deze specifieke eigenschappen worden zij in de praktijk vaak toegepast.  

Een bijzonder geval is, dat één der beide cirkels een straal oneindig heeft (heugel).

Figuur 2.2 Epicycloiden Figuur 2.3 Hypocycloiden Puntig A; Boogvormig B; Spiraalvormig C 

Naamgeving: 

- ortho-trochoïde (algemeen) of ortho-cycloïde (punt op rolcirkel, maak een baan met spitsen); 

- cirkel-evolvente (afwikkelkromme). Deze kromme is ook bekend van de evolvente vertanding. 

Bij een heugel is, nadat over de volle cirkel is afgerold, de baan niet gesloten. De beweging is ook niet periodiek, want na een omwenteling is de positie van de schakels niet dezelfde als de uitgangspositie. 

De verzamelnaam voor al deze door afrollen te verkrijgen banen is rolcirkel of trochoïde.

Overeenkomstig het basisidee gaat het feitelijk om de zesstangenketen, waarin een binaire schakel is vervangen door een tandwielpaar. Een naburige schakel raakt hierdoor een scharnier kwijt (ternair wordt binair etc.). 

In de Watt-keten zijn alle mogelijke vervangingen qua structuur en specificatie gelijkwaardig. De naburige schakels betreffen steeds een ternaire en een binaire schakel, zie figuur 2.6. Door gestelkeuze zijn wel vijf verschillende topologieën te onderscheiden, waarvan er hier twee nader aangegeven worden. 

- De overblijvende ternaire schakel, waarin de beide wielen scharnieren, wordt gestel. Typische toepassing: slagversterking bij een "gewoon" krukslingermechanisme. 

- De overblijvende ternaire schakel krijgt twee samenvallende scharnierpunten ( het middelpunt van het "losse" wiel valt samen met het scharnier zonder wiel). De staaf aan dit dubbelscharnier wordt als gestel gekozen. Nu is ook het "losse" wiel in het gestel gelagerd, waardoor het geschikt is als uitgaande schakel van een functiegenerator. Een aantal mogelijke configuraties, ook met schuif/heugel, staat in figuur 2.7 getekend. 

Karakteristiek is, dat de uitgaande beweging (hoek δ of verplaatsing s) steeds een superpositie is van twee in de stangenvierzijden voorkomende overdrachtsfuncties. Is één van deze beide doorlopend (bijvoorbeeld de krukhoek α zelf), dan is het eindresultaat ook doorlopend. Dergelijke mechanismen kunnen vaak heel goed een "doorlopende beweging met rust" of zelfs een "pelgrimstap-beweging" maken. 

In de Stephenson-keten zijn twee soorten binaire schakels te onderkennen: tussen twee ternaire of tussen een ternaire en een binaire schakel. Vervanging van de eerste soort door een tandwielpaar doet beide ternaire schakels een scharnier kwijtraken. Er ontstaat dan een gesloten vijfstangenketen plus twee tandwielen, zie figuur 2.8.

Vervanging van de tweede soort binaire schakel door een tandwielpaar levert formeel geen nieuwe mechanismen op. Het gaat dan om een der staven uit de vijfhoek, waarvan de naburige schakels niet via één, maar via twee schakels door tandwielen moeten worden verbonden. Dit vraagt extra tandwielen, terwijl ook dubbelscharnieren nodig zijn. Kennelijk komt een dergelijke configuratie voort uit een keten met meer schakels (is daar een bijzonder geval van).

Veronderstel, dat er twee schakels zijn met een bepaalde vorm (contour), die ieder draaibaar in een derde schakel, het gestel, zijn gelagerd. Zolang de contouren elkaar niet raken heeft elk der contourschakels één vrijheidsgraad. Bij raken kan er één van beide niet meer onafhankelijk roteren. Het raken neemt dus een vrijheidsgraad weg. 

Volgens dezelfde gedachte als bij het tandwielpaar kan een vervangingsmodel van het raken worden gemaakt door een binaire schakel toe te voegen tussen de contourschakels, in eerste instantie door middel van scharnierverbindingen. De toegevoegde staaf neemt eveneens een vrijheidsgraad weg. Voor de tellingen in de structuurformules kunnen de contouren dan buiten beschouwing blijven. Dit vervangingsmodel kan ook hier een momentaan equivalent model zijn, nl. als de extra scharnierpunten in de kromtemiddelpunten van de contouren, behorende bij het raakpunt, gekozen worden (zie figuur 3.1).

3.2 Nokmechanisme gebaseerd op de vierstangenketen 

Het nokmechanisme van figuur 3.1 is afgeleid uit de vierstangenketen. Er kunnen nog andere topologieën bedacht worden door een of beide contourschakels een schuifverbinding in plaats van een scharnierverbinding met het gestel te geven, zie figuur 3.2 bovenste rij.

Bij gebruik van een rol is de gematerialiseerde contour een equidistante van de kinematische contour, die voor het rolmiddelpunt geldt. 

Nokmechanismen worden meestal toegepast als functiegenerator. Het aantrekkelijke van nokmechanismen is, dat in principe elke functie gegenereerd kan worden. Dit is een kwestie van de juiste contour berekenen. Met name een lange rust, een tijdelijke stilstand van de volger, is eenvoudig te realiseren: dit correspondeert met een cirkelsegment op de nokschijf. En een exacte lange rust is met een stangenmechanisme nou juist niet goed te maken. 

Om de volger in permanent contact met de nok te houden is òf een extra kracht (veer, zwaartekracht, luchtcilinder) òf een tweede contour nodig, zie figuur 3.3.

- statisch overbepaalde constructie (speling nodig, gevaar voor klemmen). Om de speling klein te houden moeten de beide contouren nauwkeurig worden berekend en gefabriceerd. Door bewust ergens een elasticiteit in te bouwen zou de speling wel geëlimineerd kunnen worden, ten koste van extra inwendige krachten (voorspanning). 

3.3 Nokmechanisme gevolgd door een stangenmechanisme 

Omdat met een eenvoudig nokmechanisme in principe elke overdrachtsfunctie gegenereerd kan worden, lijkt de behoefte minder groot om ingewikkelde ketenstructuren met contourschakels te beschouwen. In een machineconcept met een centrale aandrijfas (nokkenas) komt het toch wel vaak voor, dat de beweging van de volger naar de juiste werkplek, elders in de machine, geleid moet worden.

3.4 Schakelbare mechanismen 

Er zijn vele vernuftige mechanismen bekend, waarbij tijdens bewegen de structuur verandert. Dit kan bijvoorbeeld optreden: 

a) doordat een sleuf een eindige lengte heeft, waardoor het glijblokje uit de sleuf kan schuiven; b) doordat een grendel een relatieve beweging (vrijheidsgraad) wel of niet blokkeert (grendel en gat zijn feitelijk twee contouren, die wel of niet raken); 

c) doordat een relatieve beweging door klemmen in één richting blokkeert. 

Voorbeelden: 

ad a): Maltezerkruis-mechanisme. Dit is gebaseerd op een kruk-sleufmechanisme, zie figuur 4.1